Il y a des fonctions trigonométriques secrètes dont vous n’avez jamais entendu parler, et elles ont des noms délicieux comme « haversine » et « exsecant. »
Un diagramme avec un cercle unitaire et plus de fonctions trigonométriques que vous ne pouvez imaginer. Le sinus, le cosinus et la tangente sont respectivement en rouge, bleu et tan. Le versin est en vert à côté du cosinus, et l’ex-sécante est en rose à droite du versin. L’excosécante et le coversine sont également dans l’image. Non représentés : vercosine, covercosine, et haver-quelque chose. Cliquez sur revoir les bases du cercle trigonométrique pour en savoir plus.
Voici les définitions de toutes les » fonctions trigonométriques perdues »
Je dois admettre que j’ai été un peu déçu lorsque j’ai cherché ces fonctions. Ce ne sont que de simples combinaisons de ces chers vieux sinus et cosinus. Pourquoi leur a-t-on donné des noms ? À une époque et un endroit où je peux m’asseoir sur mon canapé et trouver le sinus de n’importe quel angle correct à 100 décimales près instantanément en utilisant une calculatrice en ligne, le versin est inutile. Mais ces fonctions apparemment superflues remplissaient des besoins dans un monde pré-calculateur.
Tout d’abord, un rappel sur les logarithmes. L’équation logbx=y signifie que by=x. Par exemple, 102=100, donc log10100=2. Un fait pratique à propos des logarithmes est que logb(c×d)=logbc+logbd. En d’autres termes, les logarithmes transforment une multiplication en addition. Si vous souhaitez multiplier deux nombres à l’aide d’une table de logarithmes, vous devez rechercher le logarithme des deux nombres, puis additionner les logarithmes. Ensuite, vous utilisiez votre table de logarithmes pour trouver quel nombre avait ce logarithme, et c’était votre réponse. Cela peut sembler compliqué maintenant, mais faire une multiplication à la main nécessite beaucoup plus d’opérations que l’addition. Lorsque chaque opération prend un temps non négligeable (et est sujette à une quantité non négligeable d’erreurs), une procédure qui vous permet de convertir la multiplication en addition est un véritable gain de temps, et elle peut aider à augmenter la précision.
Les fonctions trigonométriques secrètes, comme les logarithmes, facilitaient les calculs. Le versin et le haversin étaient les plus utilisés. Au voisinage de l’angle θ=0, cos(θ) est très proche de 1. Si vous faisiez un calcul comportant 1-cos(θ), votre calcul pourrait être ruiné si votre table de cosinus n’avait pas assez de chiffres significatifs. Pour illustrer, le cosinus de 5 degrés est 0,996194698, et le cosinus de 1 degré est 0,999847695. La différence cos(1°)-cos(5°) est de 0,003652997. Si vous aviez trois chiffres significatifs dans votre table de cosinus, vous n’auriez qu’un chiffre significatif de précision dans votre réponse, en raison des zéros de tête dans la différence. Et une table avec seulement trois chiffres significatifs de précision ne serait pas en mesure de faire la distinction entre des angles de 0 degré et de 1 degré. Dans de nombreux cas, cela n’aurait pas d’importance, mais cela pourrait être un problème si les erreurs s’accumulent au cours d’un calcul.
Les fonctions trigonométriques en prime ont également l’avantage de ne jamais être négatives. Le versin est compris entre 0 et 2, donc si vous utilisez les tables de logarithme pour multiplier avec un versin, vous n’avez pas à vous soucier du fait que le logarithme n’est pas défini pour les nombres négatifs. (Il n’est pas non plus défini pour 0, mais c’est un cas facile à gérer.) Un autre avantage du versin et du haversin est qu’ils peuvent vous éviter d’avoir à élever quelque chose au carré. Un peu de magie trigonométrique (c’est-à-dire la mémorisation d’une des innombrables formules de trigonométrie que vous avez apprises au lycée) montre que 1-cos(θ)=2sin2(θ/2). Donc l’haversine est juste sin2(θ/2). De même, le havercosinus est cos2(θ/2). Si vous avez un calcul impliquant le carré du sinus ou du cosinus, vous pouvez utiliser une table de haversine ou de havercosine et ne pas avoir à élever au carré ou à prendre des racines carrées.
Le versin est une fonction trigonométrique assez évidente à définir et semble avoir été utilisée dès 400 de notre ère en Inde. Mais l’haversine a peut-être été plus importante dans une histoire plus récente, lorsqu’elle était utilisée en navigation. La formule de l’haversine est un moyen très précis de calculer les distances entre deux points sur la surface d’une sphère en utilisant la latitude et la longitude de ces deux points. La formule de haversine est une reformulation de la loi sphérique des cosinus, mais la formulation en termes de haversines est plus utile pour les petits angles et les petites distances. (D’autre part, la formule d’haversine ne donne pas de très bons résultats avec les angles proches de 90 degrés, mais la loi sphérique des cosinus les gère bien). La formule d’Haversine pourrait donner des résultats précis sans nécessiter les opérations coûteuses de calcul des carrés et des racines carrées. En 1984 encore, le magazine d’astronomie amateur Sky et Telescope chantait les louanges de la formule d’haversine, qui n’est pas seulement utile pour la navigation terrestre mais aussi pour les calculs célestes.